LA INTEGRAL

Conceptos Iniciales de la Integral:

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¿Qué es la integral o la integración?

Intuición básica:

De manera general, la integral o la integración es:

         “Una suma infinita de elementos infinitamente pequeños”

Ejemplo:

         Si queremos saber el área de un rectángulo, solo multiplicamos su base x altura (b x h).

Pero también podemos dividir este rectángulo con líneas imaginarias, obtener el área de cada región y sumarlas.

Y las áreas del rectángulo calculadas de estas dos maneras, serán iguales.

Como ya sabemos, que, dentro de un segmento, hay una cantidad infinita de números reales”, entonces, el rectángulo anterior lo podemos dividir con rectángulos infinitamente pequeños y obtendremos una cantidad infinita de ellos.

“Y las áreas del rectángulo calculadas de estas tres maneras, serán iguales”

Pero serán iguales porque los lados de un rectángulo son rectos, pero si la figura tiene lados curvos, las formas anteriores en que calculamos el área darán diferente resultado.

Como se ve en la figura anterior, hay rectángulos que no consideran regiones que si están en el área de la figura (área bajo la curva).

Este problema se resuelve si dividimos nuestra figura en infinidad de rectángulos, (porque ya sabemos calcular áreas de rectángulos y es muy fácil (b x h)) y de ancho infinitamente pequeños.

Considera la figura anterior, que tiene infinidad de rectángulos y que son infinitamente pequeños de anchura. (la altura de cada uno de estos rectángulos, será dada por f(x).

INTUICIÓN GEOMÉTRICA DE LA INTEGRAL:

         Cuando trazamos una curva en el plano cartesiano y queremos conocer el área bajo esa curva, podemos hacerlo de manera aproximada de dos maneras:

1. Se calcula el Área que se forma con base x + h y se le resta al Área que forma con base x. Esto nos da el área de color rojo. Y se expresa así.

A (x + h) + A(x)

         2.-El área de esa región rojo también se puede calcular de manera aproximada multiplicando la Base que es h, por la altura que es f(x). Y la expresamos así:

         f(x) * h

En las dos formas anteriores son aproximaciones, porque, como se ve en al área superior de la región roja, hay pequeñas regiones bajo la curva que no se cuenta.

Este problema se resolverá cuando hagamos h, muy muy pequeño, pues los puntos que forman el rectángulo, se harán cada vez más cercanos, y se estará calculando el área de rectángulo infinitamente pequeños.

Después relacionamos estas dos aproximaciones

    f(x) * h ≈ A (x + h) + A(x)

Si despejamos a f(x) tenemos:

Y como ya dijimos, para que funcione nuestras aproximaciones, necesitamos que h sea cada vez más pequeña, ósea que “h” tienda a 0.

Tenemos:

f(x) ≈ lim h →0 (A (x + h) + A(x)) / h

Y descubrimos que el miembro derecho tiene la misma forma que una derivada.

Así que concluimos expresando:

“La derivada de la función de área A(x) es la función f(x)”

O, dicho de otra forma:

“La función de Área A(x) es la antiderivada de la función original f(x)”

La antiderivada, primitiva, derivada inversa o integral indefinida

Se denomina la antiderivada, primitiva, derivada inversa o integral indefinida de una función F(x), a otra función f(x), que si se le deriva a esta última f(x), obtenemos la primera F(x). f(x) es la antiderivada de F(x)

Las primitivas de una función son el conjunto de funciones f(x) cuyas derivadas son iguales a F(x).

Es decir, f(x) es una primitiva de F(x) si f´(x) = F(x)

Son un conjunto porque, f₁(x) = x² + 1, f₂(x) = x² + 2, etc.

Y son primitivas distintas de F(x) = 2x.

Ya que las derivadas de todas estas primitivas son igual a 2x.

Es por esa razón, que cuando se calcula una integral, siempre se escribe la constante de integración (C).

La integración es el proceso inverso a la derivación.

La integración es el proceso que se lleva a cabo para calcular las antiderivadas de una función.

Se utiliza el símbolo llamado signo integral.

Y su anotación es la siguiente:

Donde C, es una constante (llamada constante de integración).

LA DIFERENCIAL

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La diferencial se define como el producto de la derivada de “y”, por el diferencial de “x”.

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES

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Integral de una suma

Integral del producto de una constante por una función

Ejemplos, utilizando: búsqueda de derivadas:

Estas integrales también se pueden resolver por “Las tablas de integrales inmediatas” pero ayudan a ver de donde provienen esas tablas.

Ejemplo 1: Determina la integral siguiente:

Solución:

         Utilizamos un constate 6/6 para obtener la derivada de x⁶ y así poder eliminar la integral.

         Es decir, en sentido inverso, la derivada de este resultado, te tiene que dar la función inicial.

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