ECUACIÓN, IDENTIDAD Y PROPIEDADES DE LA IGUALDAD

DEFINICIÓN DE IGUALDAD

La igualdad es una expresión matemática que compara a dos cantidades aritméticas o a dos expresiones algebraicas a través del signo igual (=). Es decir, la cantidad o la expresión del lado izquierdo tienen o representa el mismo valor que la del lado derecho.

DEFINICIÓN DE IDENTIDAD

Una identidad es un tipo de igualdad que compara dos expresiones algebraicas las cuales representan al mismo valor independientemente de los valores que adquieran las variables de sus miembros.

Ejemplos:

2 (x + 3) = 2x + 6

Cualquier valor que le demos a x, cumple con la igualdad, por lo tanto, no tendríamos que resolverla.

DEFINICIÓN DE ECUACIÓN

Una ecuación es otro tipo de igualdad que compara dos expresiones matemáticas que representan el mismo valor, pero solo para algunos valores de sus variables.

Es decir, la igualdad solo se cumple para algunos valores de las variables que tienen sus miembros.

Las ecuaciones más comunes son las ecuaciones algebraicas, que son las que utilizan expresiones algebraicas. Es decir, expresiones que utilizan letras y números.

Como puede ser:  2x + y = c

Los elementos que están separados por el signo igual se llaman miembros. Y cada miembro están compuestos por uno o más términos.

RESOLVER UNA ECUACIÓN

Resolver una ecuación significa encontrar el valor de las variables que cumplan con la igualdad.

Ejemplos:

2x + 3 = 13

En este caso, resolver la ecuación significa encontrar el valor de “x”, para que una vez sustituido en la ecuación se conserve la igualdad.

El valor de x = 5, porque 2(5) + 3 = 10 + 3 = 13

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD:

1.- Propiedad reflexiva: Toda expresión es igual a sí misma

                    a = a, 2 = 2, x = x, etc.

2.-Propiedad simétrica: El orden de los miembros no altera la igualdad.

                    Si a = b entonces b = a

5 = 3 + 2 entonces 3 + 2 = 5

3.-Propiedad transitiva: Si dos igualdades tienen un mismo miembro, los otros dos miembros también son iguales.

          Si a = b y b = c, entonces a = c.

4.-Propiedad uniforme: Si se aumenta o se disminuye la misma cantidad en los dos miembros, la igualdad se conserva.

          a = b es equivalente a: (a + c = b + c) o (a – c = b – c)

OJO

La propiedad uniforme es el fundamento para las operaciones que realizamos en los despejes de variables.

DESPEJE DE VARIABLES:

Después de conocer las propiedades de la igualdad, ahora lo importante es aprender a despejar una variable.

Despejar es el procedimiento mediante el cual, una variable se expresa en términos de las demás, es decir, esa variable se queda sola en el lado izquierdo de la ecuación.

                   y = – x + c

PROCEDIMIENTO PARA DESPEJAR UNA VARIABLE:

1.-Colocar el miembro donde está la variable a despejar del lado izquierdo de la ecuación (para facilitar su despeje).

La variable también puede quedar del lado derecho, pero por convención y para facilitar su ubicación se despeja del lado izquierdo.

2.-Ir traspasando los términos del miembro izquierdo al lado derecho.

3.-Para pasar un término de un lado al otro, se tiene que pasar con la operación inversa, si está sumando pasa restando, si está multiplicando pasa dividiendo y viceversa.

OJO:

Ten mucho cuidado en este punto: Cuando se dice “que si está multiplicando o dividiendo de un lado” es porque lo hace de manera “general” en ese miembro, no solo una parte.

Este “3” NO lo puedes pasar al lado izquierdo porque solo está multiplicando a una parte del segundo miembro.

PRIMERO TIENES QUE PASAR AL “5” que está sumando de manera general.

4.-Seguir pasando todos los términos del miembro izquierdo al derecho hasta que la variable este sola del lado izquierdo.

Ejemplos de despeje de variables:

1.- Despejar h de la ecuación:

         Todo el factor que multiplica a “h” lo pasamos dividiendo al primer miembro:

         Y por último hacemos la división en el primer miembro y acomodamos la “h” en el lado izquierdo:

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