BINOMIO DE NEWTON (A+B) N

EL binomio de Newton es una formula general que proporciona el desarrollo de un binomio a la potencia n-ésima.

Es decir, con la fórmula del binomio de Newton se pueden desarrollar todos los términos de un binomio a la potencia que uno desee.

1er método para desarrollar el binomio de Newton:

Dado (a + b) n, su desarrollo es el siguiente:

Donde:

Para obtener el enésimo termino se utiliza la siguiente formula:

EJEMPLOS:

1.- Desarrollar:

 obtenemos:

Y finalmente:

2do método para desarrollar el binomio de Newton:

El desarrollo del binomio de Newton es el siguiente:

1.-Los términos que tendrá el desarrollo serán igual a n + 1:

Si el binomio esta elevado a la potencia 4, entonces el desarrollo tendrá 5 términos, si esta elevado a la 5, tendrá 6 términos, y así sucesivamente,

2.-Para potencias pequeñas puedas utilizar el Triángulo de Pascal para obtener los coeficientes de cada termino.

O utilizar la fórmula: Donde k es el número del termino el cual se busca el coeficiente y n es la potencia que esta elevada el binomio

3.-Los exponentes de “x” van disminuyendo de uno en uno, de “n” hasta cero.

4.-Los exponentes de “y” van aumentando de uno en uno de cero hasta “n”, de tal manera que la suma de los exponentes de cada termino es igual a “n”

5.-En el caso de que uno de los signos del binomio a desarrollar sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos en el desarrollo.

Ejemplos:

Calculo del k-ésimo elemento del binomio de Newton:

Para obtener el k-esimo elemento del binomio de Newton se aplica la siguiente formula:

Procedimiento:

         1.-Se obtienen los exponentes de “a” y “b” (solo se sustituyen los valores de n y de k en la fórmula de arriba)

         2.-Se obtiene el coeficiente con la siguiente formula (calcular factoriales)

         3.-Se obtiene el signo del término.

                   Si los elementos del binomio son positivos, CUALQUIER k-esimo elemento será positivo.

                   Si algún elemento es negativo, el k-esimo elemento será negativo si k -1 = impar y si k -1 = par, ese k-esimo elemento será positivo.

OTRO FORMULA PARA OBTENER EL ENÉSIMO ELEMENTO DE BINOMIO DE NEWTON:

Para obtener el enésimo termino se utiliza la siguiente formula:

EJEMPLOS CON EL PRIMER MÉTODO:

1.- Calcula el 5to elemento de:

         Obtenemos:

EJEMPLOS CON EL SEGUNDO MÉTODO:

1.- Calcula el 4to elemento de:

         De la fórmula:

         Sustituimos:   

Y obtenemos: 

Puedes consultar mas ejemplos y ejercicios en nuestras guías.

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