PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

Los productos notables son aquellos productos de expresiones algebraicas que se pueden resolver con la ayuda de reglas generales y evitar que se hagan todas las operaciones de desarrollo.

Los productos notables son:

         1.-Binomio al cuadrado (x+ y)2

         2.-Binomios conjugados (x + y) (x – y)

         3.-Binomios con termino común (x + a) (x + b)

         4.-Binomia al cubo (x + b)3

Binomio al cuadrado (x+ y)2:

Resultado: Trinomio al cuadrado perfecto (x2 + 2xy + y2)

Reglas:

         1.-Se eleva al cuadrado el primer término del binomio

         2.-Se suma o se resta el doble producto del primer término por el segundo

         3.-Se suma el cuadrado del segundo término del binomio

Binomios Conjugados (x + y) (x – y):

Resultado: Diferencia de cuadrados (x2 – y2)

Reglas:

         1.-Se eleva al cuadrado el término que no cambia de signo

         2.-Se resta el cuadrado del término que cambia de signo

Binomios con término común (x + a) (x + b):

Reglas:

         1.-Se eleva al cuadrado el termino común

         2.-Se suman algebraicamente los términos no comunes y se multiplican por el término común

         3.-Se suma el producto algebraico de los dos términos no comunes

Binomio al cubo (x + b)3:

Reglas:

         1.-El cubo el primer término

         2.-Mas el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo

         3.-Mas el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo termino

         4.-Mas el cubo del segundo término

FACTORIZACIÓN

La factorización es el proceso algebraico por medio del cual se transforma una suma o resta de términos algebraicos en un producto algebraico.

También se puede entender como el proceso inverso del desarrollo de productos notables.

Factor común:

Para obtener el factor común de un polinomio, se obtiene el máximo común divisor de los coeficientes y las literales con menor exponente que se repitan en cada uno de los términos algebraicos del polinomio a factorizar.

 

Diferencia de Cuadrados:

Esta diferencia de cuadrados tiene la forma de x2 – y2   y su factorización es el producto de binomios conjugados:

         x2 – y2 = (x + y) (x – y)

Trinomio al cuadrado perfecto:

El resultado es un binomio al cuadrado

(x2 +- 2xy + y2) = (x +- y)2

Procedimiento:

         1.-Se ordenan los términos del trinomio en orden descendente a una de las literales, de forma que los extremos sean expresiones que tengan raíz cuadrada exacta

         2.-Se obtiene la raíz del primer y tercer termino

         3.-Para comprobar que haya sido un trinomio al cuadrado “perfecto”, se realiza el doble producto de los términos obtenidos en el paso dos y debe ser igual al 2do término del trinomio.

         4.-El signo del binomio que dio resultado es el mismo que el signo del 2do término del trinomio original

Trinomio de la forma x2 + bx + c

El resultado es: Producto de dos binomios con término común

x2 + bx + c = (x + e) (x + h)

Procedimiento:

         1.-Se ordenan los términos del trinomio en orden descendente a una de las literales, de forma que el primer término sea una expresión que tenga raíz cuadrada exacta

         2.-Se obtiene la raíz cuadrada de este primer término y se coloca en los dos binomios

         3.-Se buscan dos números que su producto sea igual al 3er término del trinomio (c) y su suma aritmética sea igual al coeficiente del 2do término del trinomio (b). De estos números, el mayor se coloca en el primer binomio y el menor en el segundo binomio.

x2 + (e + h) x + (e * h) = (x + e) (x + h)

         4.-El signo del primer binomio es igual al signo del 2do término del trinomio, y el signo del segundo binomio es igual al signo resultante del producto de los signos del 2do por el 3er término del trinomio.

Trinomio de la forma ax2 + bx + c

El resultado es: Producto de dos binomios

 ax2 + bx + c = (fx + e) (x + h)

Procedimiento:

         1.-Se ordenan los términos del trinomio en orden descendente a una de las literales

         2.-Se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente del 1er termino

         3.-Con esto, el trinomio del numerador se factoriza a dos binomios con termino común

         4.-A cada uno de estos dos binomios se les divide por el denominador para obtener los dos binomios de la forma: (fx + e) (x + h)

Suma y diferencia de cubos

Son de la forma:

x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)

x3 – y3 = (x – y) (x2 +xy+y2)

El resultado es: Producto de un binomio por un trinomio

Procedimiento:

         1.-Se obtienen las raíces de cada uno de los términos

         2.-El primer término es un binomio igual a la suma o resta de estas raíces obtenidas

         3.-El segundo término es un trinomio igual:

                   1er termino: Igual al cuadrado de la raíz del primer término del binomio

                   2do término: Igual al producto de las raíces del binomio con signo opuesto.

                   3er término: Igual al cuadrado de la raíz del segundo término del binomio

Ejemplos:

1.- El desarrollo de   

es:

2.- El desarrollo de:

 es:

Puedes consultar mas ejemplos y ejercicios en nuestras guías.

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