FORMAS ORDINARIA Y GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CUANDO EL VÉRTICE ESTÁ EN EL ORIGEN Y EL EJE FOCAL COINCIDE CON ALGUNO DE LOS EJES COORDENADOS

Las formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal coinciden con alguno de los ejes coordenados son:

FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN

Concavidad:

         Si p > 0 la parábola es cóncava hacia la derecha (abre hacia la derecha)

         Si p < 0 la parábola es cóncava hacia la izquierda (abre a la izquierda)

Concavidad:

         Si p > 0 la parábola es cóncava hacia arriba (abre hacia arriba)

         Si p < 0 la parábola es cóncava hacia abajo (abre hacia abajo)

DETALLES GRAFICOS DE LA ECUACION DE LA PARABOLA EN SU FORMA ORDINARIA

LOS 4 TIPOS DE PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDE CON ALGUN EJE COORDENADO

Resumiendo:

El sentido de apertura de la parábola tenemos que:

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN

ORIGEN DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

Debido a la definición de parábola, la distancia del foco (F) al punto (P) es igual a la distancia de este mismo punto a la directriz. Lo cual expresamos en notación matemática como:

La distancia del foco (F) al punto (P):

La distancia del punto (P) a la directriz:

Por lo tanto:

Si elevamos ambos miembros al cuadrado, desarrollamos binomios y agrupamos términos, tenemos que:

Este mismo procedimiento se puede aplicar para obtener la ecuación de la parábola vertical hacia abajo y horizontal hacia la derecha e izquierda.

ORIGEN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA

La ecuación general de la parábola se obtiene cuando se desarrolla la ecuación ordinaria con vértice en cualquier punto del plano.

Se desarrolla el binomio, se agrupan términos semejantes y obtenemos una ecuación de la forma:

Como la parábola puede ser vertical u horizontal, escribimos la ecuación general como:

Y decimos que es de una parábola, siempre y cuando A o B sean iguales a 0. Pero no ambos simultáneamente.

Ejemplos:

1.- Determina el foco, la directriz y grafica la parábola de la siguiente ecuación:

         y2 = -12 x

         Primero calculamos “p”:

         -12 = 4p

         p = -3

         Debido a que “y” es la variable que esta al cuadrado, tenemos que la parábola es HORIZONTAL, y debido a que “p” es negativo sabemos que la parábola se abrirá hacia la izquierda

         Por lo tanto:

         Foco: (-3, 0)

         Directriz: x = 3

         Por ultimo, traza la parábola en el plano cartesiano.

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