INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y FÍSICA DE LA DERIVADA

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA:


Como recordaras del capítulo La definición de la derivada, tenemos que la derivada es la rapidez de cambio que tiene la función f(y) en un punto.

Para lograr medir este cambio de la función f(y) en un punto, tuvimos que considerar en realidad dos puntos de x (x y x+h) para luego acercar infinitesimalmente estos puntos (hacer que h tienda a 0).

Pero con esta definición nos damos cuenta geométricamente que la relación de f(x+h)- f(x) / h, ajusta perfectamente en la definición de pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Es decir, la pendiente de la renta tangente es cateto opuesto (f(x+h)- f(x)) entre cateto adyacente (h). Observa la siguiente figura.

Con esto concluimos:

La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto.

INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA DERIVADA:


En todo el análisis de la derivada utilizamos variables (“x” y “y”) sin dimensiones físicas.

Si consideramos que nuestra variable independiente “x” tienen unidades de tiempo y nuestra variable dependiente “y” tiene unidades de posición (metros, por ejemplo).

Nuestra función f(x), sería una función de la posición de un objeto con respecto al tiempo.

Es decir, a cada valor del tiempo que le demos, la función nos indicara cuantos metros ha recorrido.

Y su grafica podría ser algo así:

Recuerda que, por definición, la velocidad media o promedio de un objeto es la distancia recorrida entre el lapso de tiempo.

Pero como ya aprendimos a utilizar límites y derivadas, ahora podemos calcular la velocidad “instantánea” de un objeto. Es decir, la velocidad de un objeto en un punto.

O dicho de una manera un poco más formal, ya podemos calcular, la rapidez de cambio de un objeto dado por f(t) en un intervalo de tiempo infinitesimalmente pequeño (que tiende a cero).

De la misma forma que hicimos la interpretación geométrica de la derivada:

el cateto opuesto es el cambio de posición

y el cateto adyacente es el cambio de tiempo.

Es decir:

Concluimos que:

La derivada de una función de posición con respecto al tiempo es igual a su VELOCIDAD INSTANTÁNEA en ese punto y es igual a la pendiente de la recta tangente de la curva de la función en ese punto.

ACELERACIÓN:


Si en lugar de sustituir las unidades de los ejes con tiempo y distancia como lo hicimos para obtener la velocidad, ahora los sustituimos por tiempo en el eje “x” y velocidad en el eje “y”, nos daremos cuenta que los cambios con los que calculamos la derivada ahora son:

Y como el cambio de la velocidad (Δv) entre el cambio del tiempo (Δt) la definimos en nuestra clase de física, como la aceleración de un cuerpo:

Tenemos que:

La derivada de una función de velocidad con respecto al tiempo es igual a su ACELERACIÓN INSTANTÁNEA en ese punto.

Y como ya conocemos las derivadas sucesivas, también podemos decir que:

La segunda derivada de una función de posición con respecto al tiempo es igual a su ACELERACIÓN, en ese punto.

Ejemplos de interpretación geométrica y física de la derivada:

1.- Determina la pendiente de la recta tangente a la curva de la siguiente función en el punto (-1, .4):

          Primero obtenemos la derivada de la función:

          En esta función, que representa la función de la recta pendiente a la curva inicial, sustituimos el punto donde queremos obtener el valor de la derivada y obtenemos

          Concluimos que la pendiente de la rectan tangente a la función dada en el punto (-1, -4) es igual a 3.

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